Varian dan Standar Deviasi (Simpangan Baku)

Varian dan standar deviasi (simpangan baku) adalah ukuran-ukuran keragaman (variasi) data statistik yang paling sering digunakan. Standar deviasi (simpangan baku) merupakan akarkuadrat dari varian.

Jadi jika salah satu nilai dari kedua ukuran tersebut diketahui maka akan diketahui juga nilai ukuran yang lain.

Penghitungan

Dasar penghitungan varian dan standar deviasi adalah keinginan untuk mengetahui keragaman suatu kelompok data. Salah satu cara untuk mengetahui keragaman suatu kelompok data adalah dengan mengurangi setiap nilai data dengan rata-rata kelompok data tersebut, kemudian semua hasilnya dijumlahkan.

Namun cara seperti itu tidak bisa digunakan karena hasilnya akan selalu menjadi 0.

Oleh karena itu, solusi agar nilainya tidak menjadi 0 adalah dengan mengkuadratkan setiap pengurangan nilai data dan rata-rata kelompok data tersebut, kemudian dilakukan penjumlahan. Hasil penjumlahan kuadrat (sum of squares) tersebut akan selalu bernilai positif.

Nilai varian diperoleh dari pembagian hasil penjumlahan kuadrat (sum of squares) dengan ukuran data (n).

Namun begitu, dalam penerapannya, nilai varian tersebut bias untuk menduga varian populasi. Dengan menggunakan rumus tersebut, nilai varian populasi lebih besar dari varian sampel.

Oleh karena itu, agar tidak bias dalam menduga varian populasi, maka n sebagai pembagi penjumlahan kuadrat (sum of squares) diganti dengan n-1 (derajat bebas) agar nilainya menjadi lebih besar dan mendekati varian populasi. Oleh karena itu rumus varian menjadi : 

Nilai varian yang dihasilkan merupakan nilai yang berbentuk kuadrat. Jika satuan nilai rata-rata adalah gram, maka nilai varian adalah gram kuadrat. Untuk menyeragamkan nilai satuannya maka varian diakarkuadratkan sehingga hasilnya adalah standar deviasi (simpangan baku).

Untuk mempermudah penghitungan, rumus varian dan standar deviasi (simpangan baku) tersebut bisa diturunkan :

Rumus varian :

Rumus standar deviasi (simpangan baku) :

Contoh Penghitungan

Misalkan dalam suatu kelas, tinggi badan beberapa orang siswa yang dijadikan sampel adalah sebagai berikut. 

172, 167, 180,170, 169, 160, 175, 165, 173, 170

Dari data tersebut dapat dihitung varian dengan menggunakan rumus varian di atas.

Dari penghitungan, diperoleh nilai varian sama dengan 30,22.

Dari nilai tersebut bisa langsung diperoleh nilai standar deviasi (simpangan baku) dengan cara mengakarkuadratkan nilai varian.

Keterangan:

s² = varian

s = standar deviasi (simpangan baku)

xi = nilai x ke-i

= rata-rata

n = ukuran sampel

Kelebihan dan Kekurangan Rata-rata, Median dan Modus

Di suatu wilayah, sebuah perusahaan properti membangun perumahan untuk masyarakat di wilayah tersebut. Perusahaan memperoleh informasi bahwa rata-rata jumlah anggota rumah tangga di wilayah tersebut adalah 4 orang, sehingga perusahaan tersebut membangun perumahan yang terdiri dari 3 kamar tidur (1 kamar untuk bapak-ibu dan 2 kamar untuk 2 orang anak).

Setelah perumahan tersebut dibangun kemudian dipasarkan, ternyata perumahan tersebut tidak laku karena kurang peminat. Perusahaan pun meneliti apa penyebab kurangnya peminat perumahan tersebut.

Setelah diteliti ternyata walaupun rata-rata anggota rumah tangga adalah 4 orang, namun kebanyakan anggota rumah tangga di wilayah tersebut adalah 3 orang dan 5 orang, sehingga perumahan yang mereka butuhkan adalah rumah yang terdiri dari 2 kamar (1 kamar untuk bapak-ibu dan 1 kamar untuk 1 orang anak) atau 4 kamar (1 kamar untuk bapak-ibu dan 3 kamar untuk 3 orang anak). Perusahaan pun menyadari kekeliruan tersebut bahwa kesalahan merencanakan jumlah kamar disebabkan kurangnya memahami pemanfaatan data.

Dari cerita di atas, dapat kita pahami bahwa ukuran kecenderungan terpusat rata-rata walaupun sangat pupuler tidak selalu bisa digunakan dengan baik. Dalam memanfaatkan ukuran keterwakilan data kita jangan selalu terpaku pada rata-rata saja. Ada kalanya kita mempertimbangkan ukuran kecenderungan terpusat yang lain seperti median atau modus.

Agar lebih jelas memahami penggunaan rata-rata, median dan modus, ada baiknya kita mengetahui kelebihan dan kelemahan rata-rata, median dan modus. Berikut ini dirincikan kelebihan dan kelemahan masing-masing ukuran kecenderungan terpusat tersebut.

Rata-rata

Kelebihan

1. Rata-rata lebih populer dan lebih mudah digunakan.
2. Dalam satu set data, rata-rata selalu ada dan hanya ada satu rata-rata.
3. Dalam penghitungannya selalu mempertimbangkan semua nilai data.
4. Tidak peka terhadap penambahan jumlah data.
5. Variasinya paling stabil.
6. Cocok digunakan untuk data yang homogen.

Kelemahan

1. Sangat peka terhadap data ekstrim. Jika data ekstrimnya banyak, rata-rata menjadi kurang mewakili (representatif).
2. Tidak dapat digunakan untuk data kualitatif.
3. Tidak cocok untuk data heterogen.

Median

Kelebihan

1. Tidak dipengaruhi oleh data ekstrim.
2. Dapat digunakan untuk data kualitatif maupun kuantitatif.
3. Cocok untuk data heterogen.

Kelemahan

1. Tidak mempertimbangkan semua nilai data.
2. Kurang menggambarkan rata-rata populasi.
3. Peka terhadap penambahan jumlah data.

Modus

Kelebihan

1. Tidak dipengaruhi oleh data ekstrim.
2. Cocok digunakan untuk data kuantitatif maupun kualitatif.

Kelemahan

1. Modus tidak selalu ada dalam satu set data.
2. Kadang dalam satu set data terdapat dua atau lebih modus. Jika hal itu terjadi modus menjadi sulit digunakan.
3. Kurang mempertimbangkan semua nilai.
4. Peka terhadap penambahan jumlah data.

Hubungan Antara Rata-rata Hitung (Mean), Median dan Modus

Rata-rata hitung (mean), median dan modus adalah nilai yang digunakan untuk mewakili seperangkat data. Ketiga nilai tersebut sering juga disebut dengan ukuran kecenderungan terpusat (measure of central tendency). Sebab kecenderungan dari nilai-nilai tersebut memusat pada bagian tengah suatu perangkat data.

Pada analisis data biasanya fokus perhatian tidak terletak pada keseluruhan data, tetapi terletak hanya dimana data tersebut memusat. Oleh karena itulah nilai-nilai rata-rata, median dan modus sering digunakan untuk mewakili seperangkat data dalam analisis statistik.

Pada suatu distribusi frekuensi, hubungan antara rata-rata, median dan modus adalah sebagai berikut.

1. Jika rata-rata, median dan modus memiliki nilai yang sama, maka nilai rata-rata, median dan modus akan terletak pada satu titik dalam kurva distribusi frekuensi. Kurva distribusi frekuensi tersebut akan terbentuk simetris.
   
2. Jika rata-rata lebih besar dari median, dan median lebih besar dari modus, maka pada kurva distribusi frekuensi, nilai rata-rata akan terletak di sebelah kanan, sedangkan median terletak di tengahnya dan modus di sebelah kiri. Kurva distribusi frekuensi akan terbentuk menceng ke kiri.
   
3. Jika rata-rata lebih kecil dari median, dan median lebih kecil dari modus, maka pada kurva distribusi frekuensi, nilai rata-rata akan terletak di sebelah kiri, sedangkan median terletak di tengahnya dan modus di sebelah kanan. Kurva distribusi frekuensi akan terbentuk menceng ke kanan.
   
4. Jika kurva distribusi frekuensi tidak simetris (menceng ke kiri atau ke kanan), maka biasanya akan berlaku hubungan antara rata-rata median dan modus sebagai berikut.
   
   Rata-rata – Modus = 3 (Rata-rata – Median)

Median Data Berkelompok

Pada data tunggal, penghitungan median cukup mudah. Data diurutkan berdasarkan nilai datanya mulai dari yang terkecil sampai yang terbesar. Kemudian median bisa diketahui langsung dari nilai tengah urutan data tersebut.

Namun pada data berkelompok, cara tersebut tidak bisa digunakan. Data berkelompok merupakan data yang berbentuk kelas interval, sehingga kita tidak bisa langsung mengetahui nilai median jika kelas mediannya sudah diketahui.

Oleh karena itu, kita harus menggunakan rumus berikut ini.

Me = median

xii = batas bawah median

n = jumlah data

fkii = frekuensi kumulatif data di bawah kelas median

fi = frekuensi data pada kelas median

p = panjang interval kelas

Contoh soal:

Sebanyak 26 orang mahasiswa terpilih sebagai sampel dalam penelitian kesehatan di sebuah universitas. Mahasiswa yang terpilih tersebut diukur berat badannya. Hasil pengukuran berat badan disajikan dalam bentuk data berkelompok seperti di bawah ini.

Hitunglah median berat badan mahasiswa!

Jawab:

Sebelum menggunakan rumus di atas, terlebih dahulu dibuat tabel untuk menghitung frekuensi kumulatif data. Tabelnya adalah sebagai berikut.

Selanjutnya adalah menentukan nilai-nilai yang akan digunakan pada rumus.

Jumlah data adalah 26, sehingga mediannya terletak di antara data ke 13 dan 14. Data ke-13 dan 14 ini berada pada kelas interval ke-4 (61 – 65). Kelas interval ke-4 ini kita sebut kelas median.

Melalui informasi kelas median, bisa kita peroleh batas bawah kelas median sama dengan 60,5. Frekuensi kumulatif sebelum kelas median adalah 9, dan frekuensi kelas median sama dengan 5. Diketahui juga, bahwa panjang kelas sama dengan 5.

Secara matematis bisa diringkas sebagai berikut:

xii = 60,5

n = 26

fkii = 9

fi = 5

p = 5

Dari nilai-nilai tersebut dapat kita hitung median dengan menggunakan rumus median data berkelompok.

Sehingga median berat badan mahasiswa adalah 64,5 kg.

Median Data Tunggal

Median adalah nilai tengah dari data yang telah disusun berurutan mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar. Secara matematis median dilambangkan dengan Me yang dapat dicari dengan cara sebagai berikut.

Median untuk jumlah data (n) ganjil

Median untuk jumlah data (n) genap

Keterangan:

Me = Median

n = jumlah data

x = nilai data

Contoh 1:

Lima orang anak menghitung jumlah kelereng yang dimilikinya, dari hasil penghitungan mereka diketahui jumlah kelereng mereka adalah sebagai berikut.

5, 6, 7, 3, 2

Median dari jumlah kelereng tersebut adalah?

Jawab:

Karena jumlah data adalah ganjil, maka penghitungan median menggunakan rumus median untuk data ganjil. Proses penghitungannya adalah sebagai berikut.

Dari rumus matematis di atas, diperoleh bahwa median adalah x3. Untuk mengetahui x3, maka data harus diurutkan terlebih dahulu. Hasil pengurutan data adalah sebagai berikut.

2, 3, 5, 6, 7

Dari hasil pengurutan dapat kita ketahui mediannya (x3) adalah 5.

Contoh 2:

Sepuluh orang siswa dijadikan sampel dan dihitung tinggi badannya. Hasil pengukuran tinggi badan kesepuluh siswa tersebut adalah sebagai berikut.

172, 167, 180, 171, 169, 160, 175, 173, 170, 165

Hitunglah median dari data tinggi badan siswa!

Jawab:

Karena jumlah data genap, maka penghitungan median menggunakan rumus median untuk data genap. Proses penghitungannya adalah sebagai berikut.

Untuk melanjutkan penghitungan, kita harus terlebih dahulu mengetahui nilai x5 dan x6. Kedua nilai data tersebut dapat diperoleh dengan mengurutkan semua data. Hasil pengurutan adalah sebagai berikut.

160, 165, 167, 169, 170, 171, 172, 173, 175, 180

Dari pengurutan tersebut diperoleh nilai x5 sama dengan 170 dan x6 sama dengan 171. Dengan demikian penghitungan median dapat dilanjutkan.

Rata-rata Harmonik (Harmonic Average)

Rata-rata harmonik (harmonic average) adalah rata-rata yang dihitung dengan cara mengubah semua data menjadi pecahan, dimana nilai data dijadikan sebagai penyebut dan pembilangnya adalah satu, kemudian semua pecahan tersebut dijumlahkan dan selanjutnya dijadikan sebagai pembagi jumlah data. Rata-rata harmonik ini sering disebut juga dengan kebalikan dari rata-rata hitung (aritmatik). Secara matematis rata-rata harmonik dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:

H = rata-rata harmonik

n = jumlah data sampel

xi = nilai data ke-i

Contoh:
Suatu pertandingan bridge terdiri dari 10 meja. Pada pertandingan tersebut ingin diketahui rata-rata lama bermain dalam 1 set kartu bridge. Pada pertandingan pertamanya dihitung lama bermain untuk setiap set kartu di setiap meja. Hasilnya adalah sebagai berikut (dalam menit).

7, 6, 8, 10, 8, 8, 9, 12, 9, 11

Berapakah rata-rata harmonik lama pertandingan tersebut?

Jawab:
Dari rumus dapat dihitung rata-rata harmonik adalah sebagai berikut.

Rata-rata Tertimbang (Terbobot)

Rata-rata tertimbang/terbobot (weighted average) adalah rata-rata yang dihitung dengan memperhitungkan timbangan/bobot untuk setiap datanya. Setiap penimbang/bobot tersebut merupakan pasangan setiap data.

Rumus rata-rata tertimbang/terbobot adalah sebagai berikut.

Keterangan:

 = rata-rata tertimbang

xi = nilai data ke-i

wi = bobot data ke-i

n = jumlah data

Contoh penggunaan rata-rata tertimbang

Sebuah perguruan tinggi membuka penerimaan mahasiswa baru. Dalam rangka penerimaan, perguruan tinggi tersebut melaksanakan ujian masuk untuk calon mahasiswa baru. Calon mahasiswa baru diwajibkan mengkuti tes kemampuan 3 mata pelajaran, yaitu matematika, bahasa inggris dan pengetahuan umum.

Untuk memberikan penilaian yang lebih baik, perguruan tinggi tersebut membobot setiap mata pelajaran yang diujiankan. Matematika diberi bobot 50, bahasa Inggris 30 dan pengetahuan umum 20.

Setelah ujian dilaksanakan, seorang calon mahasiswa baru mendapatkan nilai sebagai berikut. Matematika 65, bahasa inggris 70 dan pengetahuan umum 80. Berapakah nilai rata-rata calon mahasiswa tersebut?

Jawaban

Diketahui bahwa penilaian bersifat terbobot, oleh karena itu penghitungan nilai mahasiswa tersebut menggunakan rumus rata-rata tertimbang.

Dengan menggunakan rumus rata-rata tertimbang maka penghitungan nilai mahasiswa tersebut adalah sebagai berikut.

Jadi, nilai rata-rata calon mahasiswa baru tersebut adalah 69,5.

Penjelasan tambahan

Jika kita menghitungnya menggunakan rata-rata hitung biasa. Maka rata-rata nilai mahasiswa tersebut adalah sebagai berikut.

Dari hasil tersebut bisa kita ketahui bahwa nilai rata-rata hitung (71,67) lebih tinggi dari nilai rata-rata tertimbang (69,5). Jika kita perhatikan untuk setiap nilai datanya, bisa kita ketahui bahwa penyebab rendahnya nilai rata-rata tertimbang adalah karena nilai matematikanya paling rendah di antara mata pelajaran yang lain padahal nilai matematika tersebut memiliki bobot paling besar. Sedangkan nilai bahasa inggris adalah nilai yang paling tinggi, tetapi karena bobotnya paling kecil sehingga tidak mampu memberikan kontribusi lebih besar untuk meningkatkan nilai rata-ratanya.

Rata-rata Hitung Data Berkelompok

Data berkelompok adalah data yang disajikan dalam bentuk kelas-kelas interval. Setiap kelas biasanya memiliki panjang interval yang sama.

Ada tiga cara menghitung rata-rata data berkelompok, yaitu dengan menggunakan titik tengah, menggunakan simpangan rata-rata sementara dan menggunakan kode (coding). Rumus ketiga cara penghitungan rata-rata data berkelompok tersebut adalah sebagai berikut.

1. Menggunakan titik tengah (cara biasa)

2. Menggunakan simpangan rata-rata sementara

 

dimana 

3. Menggunakan pengkodean (coding)

Keterangan

 = rata-rata hitung data berkelompok

 = rata-rata sementara

fi =  frekuensi data kelas ke-i

xi = nilai tengah kelas ke-i

ci = kode kelas ke-i

p = panjang interval

Contoh penghitungan:

Sebanyak 21 orang pekerja dijadikan sampel dan dihitung tinggi badannya. Data tinggi badan dibuat dalam bentuk kelas-kelas interval. Hasil pengukuran tinggi badan adalah sebagai berikut.

Hitunglah rata-rata tinggi badan pekerja dengan menggunakan titik tengah, simpangan rata-rata sementara dan cara koding!

Jawab:

1. Menggunakan titik tengah (cara biasa)

Proses penghitungan rata-rata dengan menggunakan titik tengah dibantu dengan menggunakan tabel di bawah ini.

Dari tabel di atas diperoleh

Dengan begitu dapat kita hitung rata-rata data berkelompok sebagai berikut.

2. Dengan menggunakan simpangan rata-rata sementara

Sebelum menghitung rata-rata data berkelompok menggunakan simpangan rata-rata sementara, kita terlebih dahulu menetapkan rata-rata sementaranya.

Misalkan rata-rata sementara yang kita tetapkan adalah 160. Selanjutnya kita bisa membuat tabel penghitungan sebagai berikut.

Dari tabel di atas diperoleh

Hasil rata-rata hitung menggunakan simpangan rata-rata adalah

3. Cara coding

Sama dengan menggunakan simpangan rata-rata sementara, sebelum menghitung rata-rata dengan cara coding, kita juga harus menetapkan rata-rata sementara. Namun rata-rata sementara yang kita tetapkan harus sama dengan salah satu nilai tengah salah satu kelas interval.

Misalkan kita menetapkan rata-rata sementara adalah nilai tengah kelas keempat, yaitu 168. Dengan begitu kita bisa membuat tabel dan pengkodean seperti di bawah ini. 

Pengkodean dimulai dari angka 0 untuk kelas interval dimana rata-rata sementara ditetapkan. Kemudian dengan kelas sebelumnya berturut-turut menjadi angka negatif (-1, -2, -3 dan seterusnya) menjauhi kelas rata-rata sementara. Berikutnya dengan kelas sesudahnya berturut-turut pengkodeannya menjadi angka positif (1,2 3 dan seterusnya) menjauhi kelas rata-rata sementara tersebut.

Dari tabel di atas diperoleh

Hasil rata-rata hitung menggunakan coding adalah sebagai berikut.

Modus Data Berkelompok

Modus adalah nilai yang memiliki frekuensi terbanyak dalam seperangkat data. Modus untuk data yang disusun dalam bentuk kelas interval (data berkelompok) bisa ditentukan berdasarkan nilai tengah kelas interval yang memiliki frekuensi terbanyak.

Namun nilai yang dihasilkan dari nilai tengah kelas interval ini adalah nilai yang kasar. Nilai modus yang lebih halus bisa diperoleh dengan menggunakan rumus di bawah ini.

Mo = modus

b = batas bawah kelas interval dengan frekuensi terbanyak

p = panjang kelas interval

b1 = frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sebelumnya

b2 = frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sesudahnya

Contoh:

Berikut ini adalah nilai statistik mahasiswa jurusan ekonomi sebuah universitas.

Berapakah modus nilai statistik mahasiswa tersebut?

Jawab:

Dari tabel di atas, kita bisa mengetahui bahwa modus terletak pada kelas interval keempat (66 – 70) karena kelas tersebut memiliki frekuensi terbanyak yaitu 27. Sebelum menghitung menggunakan rumus modus data berkelompok, terlebih dahulu kita harus mengetahui batas bawah kelas adalah 65,5, frekuensi kelas sebelumnya 14, frekuensi kelas sesudahnya 21. Panjang kelas interval sama dengan 5.

Dengan begitu bisa kita menghitung modus nilai statistik mahasiswa sebagai berikut.