Suwandi Selalu Optimis 12: Makalah Matematika Bisnis

Makalah Matematika Bisnis

“APLIKASI NON LINEAR DIBIDANG EKONOMI DAN BISNIS”

Disusun Oleh:

2013040012 Ahmad Salman

2013040016 Ahmad Syafy.S

2013010004 Agung Darmawan

2013040003 Miftahul Khair Adri

2013040027 Suwandi

2013010009 Ridwand Rahman

JURUSAN SISTEM INFORMASI

STMIK HANDAYANI MAKASSAR

2013

KATA PENGANTAR

Puji dan Syukur kami panjatkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat limpahan Rahmat dan Karunia-nya sehingga kami dapat menyusun makalah ini dengan baik dan benar, serta tepat pada waktunya. Dalam makalah ini kami akan membahas mengenai “APLIKASI NON LINEAR PADA EKONOMI DAN BISNIS”.

Makalah ini telah dibuat dengan berbagai observasi dan beberapa bantuan dari berbagai pihak untuk membantu menyelesaikan tantangan dan hambatan selama mengerjakan makalah ini. Oleh karena itu, kami mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan makalah ini.

Kami menyadari bahwa masih banyak kekurangan yang mendasar pada makalah ini. Oleh karena itu kami mengundang pembaca untuk memberikan saran serta kritik yang dapat membangun kami. Kritik konstruktif dari pembaca sangat kami harapkan untuk penyempurnaan makalah selanjutnya.

Akhir kata semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi kita semua.

Makassar, 29/Desember/2013

Penyusun

DAFTAR ISI

Kata Pengantar............................................................................................................................. i

Daftar Isi...................................................................................................................................... ii

BAB I PENDAHULUAN................................................................................................................ 1

1.1 Latar Belakang............................................................................................................ 1

1.2 Rumusan Masalah....................................................................................................... 1

1.3 Tujuan Dan Manfaat Penulisan..................................................................................... 2

1.4 Metode Penulisan........................................................................................................ 2

1.5 Sistematika Penulisan.................................................................................................. 2

BAB II ISI HUBUNGAN NON LINIAR............................................................................................ 3

2.1 Pengerian Dasar Ilmu Matematika Dan Matematika Bisnis................................................... 3

2.2 Definisi Fungsi Kuadrat...................................................................................................... 4

2.3 Definisi Fungsi Kubik......................................................................................................... 7

2.4 Penerapan Dalam Ekonomi................................................................................................ 11

2.4.1 Definisi Fungsi Permintaan, Penawaran Dan Kesempulan Pasar............................... 11

2.4.2 Definisi Fungsi Biaya............................................................................................ 20

2.4.3 Definisi Fungsi Penerimaan.................................................................................... 24

2.4.4 Definisi Keunteungan, Kurugian Dan Pulang Pokok.................................................. 25

2.4.5 Definisi Fungsi Utilitas........................................................................................... 27

2.4.6 Definisi Fungsi produksi/Penawaran Produksi.......................................................... 30

BAB III PENUTUP........................................................................................................................ 32

3.1 Kesimpulan....................................................................................................................... 32

3.2 Saran............................................................................................................................... 32

DAFTAR PUSTAKA..................................................................................................................... 33

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Istilah mathematics (dalam bahasa Inggris) berasal dari perkataan latin mathematica, yang mulanya diambil dari perkataan Yunani, mathematike, yang berarti “relating to learning”. Perkataan mathematika berhubungan sangat erat dengan sebuah kata lainnya yang serupa, yaitu mathanein yang mengandung arti belajar (berpikir). Jadi, berdasarkan etimologis (Elea Tinggih dalam Erman Suherman, 2003:16), perkataan matematika berarti “ilmu pengetahuan yang diperoleh dengan bernalar”.

Konsep “fungsi” merupakan hal yang penting dalam berbagai cabang matematika. Pengertian fungsi dalam matematika berbeda dengan pengertian dalam kehidupan sehari-hari. Dalam pengertian sehari-hari fungsi bermakna guna atau manfaat. Kata fungsi dalam matematika sebagaimana diperkenalkan oleh Leibniz (1646-1716) digunakan untuk menyatakan suatu hubungan atau kaitan yang khas antara dua himpunan, sehingga fungsi dapat dikatakan hal yang istimewa dari suatu relasi antara dua himpunan. Penerapan fungsi dalam ekonomi dan bisnis merupakan salah satu bagian yang sangat penting untuk dipelajari, karena model-model ekonomi yang berbentuk matematika biasanya dinyatakan dengan fungsi.

1.2 RUMUSAN MASALAH

Untuk mengkaji dan mengulas tentang aplikasi fungsi non linear pada binis, maka diperlukan sub-pokok bahasan yang saling berhubungan, sehingga penulis membuat rumusan masalah sebagai berikut:

1. Apakah fungsi kuadrat ?

2. Apakah fungsi kubik ?

3. Bagaimana fungsi permintaan, penawaran, dan keseimbangan pasar?

4. Apakah fungsi biaya ?

5. Apakah fungsi penerimaan?

6. Bagaimana keuntungan/kerugian dan pulang pokok ?

7. Apakah fungsi utilitas ?

8. Apakah fungsi produksi ?

1.3 TUJUAN DAN MANFAAT PENULISAN

Tujuan disusunnya makalah ini adalah untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika Bisnis Semester Ganjill tahun 2013 dan menjawab pertanyaan yang ada pada rumusan masalah. Manfaat dari penulisan makalah ini adalah untuk meningkatkan pengetahuan penulis dan pembaca tentang pengertian dasar ilmu matematika dan matematika bisnis; definisi fungsi kuadrat, fungsi kubik, fungsi permintaan penawaran & keseimbangan pasar, fungsi biaya, fungsi penerimaan, fungsi keuntungan/kerugian, pulang pokok, fingsi utilitas, fungsi produksi.

1.4 METODE PENULISAN

Penulis memakai metode studi literatur dan kepustakaan dalam penulisan makalah ini. Referensi makalah ini bersumber tidak hanya dari buku, tetapi juga dari media media lain seperti e-book, web, blog, dan perangkat media massa yang diambil dari internet.

1.5 SISTEMATIKA PENULISAN

Makalah ini disusun menjadi tiga bab, yaitu bab pendahuluan, bab pembahasan, dan bab penutup. Adapun bab pendahuluan terbagi atas : latar belakang, rumusan makalah, tujuan dan manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan. Sedangkan bab pembahasan dibagi berdasarkan sub-bab yang berkaitan dengan peran permasalahan umum yang dialami perusahaan. Terakhir, bab penutup terdiri atas kesimpulan dan saran.

BAB II

HUBUNGAN NON LINEAR

2.1 Pengertian Dasar Ilmu Matematika dan Matematika Bisnis

James dan James (1976) dalam kamus matematikanya mengatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan yang lainnya dengan jumlah yang banyak yang terbagi ke dalam tiga bidang, yaitu aljabar, analisis dan geometri. Johnson dan Rising (1972) dalam bukunya mengatakan bahwa matematika adalah pola pikir, pola mengorganisasikan, pembuktian yang logik, matematika itu adalah bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas, dan akurat, representasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa bahasa simbol mengenai ide dari pada mengenai bunyi. Sementara Reys, dkk. (1984) mengatakan bahwa matematika adalah telaah tentang pola dan hubungan, suatu jalan atau pola pikir, suatu seni, suatu bahasa, dan suatu alat. Berdasarkan pendapat di atas, maka disimpulkan bahwa ciri yang sangat penting dalam matematika adalah disiplin berpikir yang didasarkan pada berpikir logis, konsisten, inovatif dan kreatif.

Matematika berfungsi mengembangkan kemampuan menghitung, mengukur, menurunkan dan menggunakan rumus matematika yang diperlukan dalam kehidupan sehari-hari melalui pengukuran dan geometri, aljabar, peluang dan statistik, kalkulus dan trigonometri. Matematika juga berfungsi mengembangkan kemampuan mengkomunikasikan gagasan melalui model matematika yang dapat berupa kalimat matematika dan persamaan matematika, diagram, grafik atau tabel.

Matematika bisnis merupakan salah satu ilmu matematika terapan, dimana masalah yang muncul dalam ekonomi / bisnis seperti biaya, harga, upah, tenaga kerja, permintaan dan penawaran, penghasilan dan laba, produksi dan sebagainya diselesaikan dengan menggunakan analisis matematika untuk mendapatkan kesimpulan dan keputusan terbaik. Suatu model ekonomi / bisnis hanya merupakan kerangka teoritis, sehingga model ekonomi / bisnis harus bersifat matematis. Jika suatu model mempunyai bentuk matematis, biasanya model tersebut terdiri dari himpunan persamaan persamaan yang dibentuk untuk model tersebut.

2.2 Definisi Fungsi Kuadrat

— Fungsi Kuadrat adalah Fungsi yang pangkat tertinggi dari variabel adalah dua.

— Bentuk umum dari fungsi Kuadrat : y = f (x) = ax² + bx + c

dimana : Y = Variabel terikat

X=Variabel bebas

a, b= koefisien, Dan a ≠ 0

c = konstanta.

· Ciri-ciri persamaan kuadrat

1. Jika a positif maka gambar membuka ke atas.

2. jika a negatif maka gambar membuka ke bawah.

3. semakin besar a, maka gambar semakin sempit.

4. semakin kecil a maka gambar semakin lebar

5. titik puncak membelah gambar sama besar

6. titik a merupakan titik potong fungsi dengan sumbu y dimana x = 0

7. titik b dan c merupakan titik potong fungsi dengan sumbu x dimana y = 0

8. Titik p disebut titik puncak

9. jika x = 0 maka c merupakan titik potong dengan sumbu y

· CARA MENGGAMBAR FUNGSI KUADRAT

a. Dengan cara sederhana (curve traicing process)

b. Dengan cara matematis (menggunakan ciri-ciri yang penting)

CURVE TRAICING PROCESS

Yaitu dengan menggunakan tabel x dan y, dimana kita tentukan dulu nilai x sebagai variabel bebas, maka dengan memasukkan beberapa nilai x kita akan memperoleh nilai y.

Misalkan y = x² - 5x + 6

X	-1	0	1	2	3	4	5	6
Y	12	6	2	0	0	2	6	12

Kemudian kita plotkan masing-masing pasangan titik tersebut.

CARA MATEMATIS

Yaitu dengan menggambarkan ciri-ciri penting dari fungsi kuadrat, diantaranya :

1.Titik potong fungsi dengan sumbu y, pada x=0, maka y=d. Jadi titiknya adalah A(0,d).

2.Titik potong fungsi dengan sumbu x, pada y=0,maka kita harus mencari nilai Diskriminan (D) terlebih dahulu:

Nilai diskriminan ini akan menentukan apakah parabola vertikal memotong, menyinggung dan atau tidak memotong maupun menyinggung sumbu x.

ü Jika nilai D = b² – 4ac adalah negatif maka tidak terdapat titik potong pada sumbu x.

ü Jika nilai D = b² – 4ac adalah positif maka terdapat dua titik potong pada sumbu x.

yaitu pada titik :

titik : (x₁ , 0) dan (x₂ , 0)

ü Jika nilai D = b² – 4ac adalah nol maka terdapat satu titik potong dengan sumbu x. Titik :

3. Titik puncak, yaitu titik dimana arah dari grafik fungsi kuadrat kembali ke arah semula. Titik puncak :

4. Sumbu simetri adalah sumbu yang membagi/membelah dua grafik fungsi kuadrat tersebut menjadi dua bagian yang sama besar.

Sumbu simetri :

Contoh Soal:

Gambarkan grafik fungsi y = x² - 5x + 6.

1.Titik potong fungsi dengan sumbu y, pada x=0, maka y=6. Jadi titiknya adalah A(0,6).

2.Titik potong fungsi dengan sumbu x, pada y=0,

D = b² – 4ac = (-5)² – 4(1)(6) = 25 – 24 = 1

Karena D=1 > 0, maka terdapat dua buah titik potong dengan sumbu x.

jadi titiknya B₁ (3,0)

jadi titiknya B₂ (2,0)

3.Titik puncak :

4.Sumbu simetri :

Grafiknya:

2.3 Definisi Fungsi Kubik

Fungsi kubik atau fungsi berderajat tiga ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat tiga. Setiap fungsi kubik setidak - tidaknya mempunyai sebuah titik belok (inflextion point), yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung atau cembung menjadi cekung. Selain titik belok, sebuah fungsi kubik mungkin pula mempunyai satu titik ekstrim (maksimum atau minimum) atau titik dua ekstrim (maksimum atau minimum). Ada tidaknya titik ekstrim dalam suatu fungsi kubik tergantung pada besarnya nilai-nilai b, c, dan d di dalam persamaannya. Dengan demikian terdapat beberapa kemungkinan mengenai bentuk kurva suatu fungsi kubik. Fungsi-fungsi kubik hanya mempunyai titik belok, tanpa titik ekstrim.

Persamaan kubik memiliki bntuk umum
ax³ + bx² + cx + d = 0
dengan a tidak nol

Untuk menyelesaikan persamaan ini ada 3 cara yaitu :
1. memfaktorkan
2. menyederhanakan menjadi bentuk persamaan kuadrat
3. Rumus

Penyelesaian persamaan kubik dengan metoda memfaktorkan
Berikut ini akan dibahas penyelesaian persamaan kubik dengan metoda memfaktorkan untuk kasus-kasu yang sederhana

Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x³ - x² - 6x = 0
Jawab :
x³ - x² - 6x = 0
x(x² - x - 6) = 0
x(x - 3)(x + 2) = 0
x = 0 atau x = 3 atau x = -2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 0, 3}

Contoh 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x³ - x² - x + 1 = 0
Jawab :
x³ - x² - x + 1 = 0
x² (x - 1) - (x - 1)= 0
x² - 1)(x - 1) = 0
x - 1)(x + 1) ( x - 1) = 0
x = 1 atau x = -1 atau x = 1
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-1, 1}

Contoh 3 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x³ - 2x² - 9x + 18 = 0
Jawab :
x³ - 2x² - 9x + 18 = 0
x²(x - 2) - 9(x - 2) = 0
(x² - 9)(x - 2) = 0
(x + 3)(x - 3)(x - 2) = 0
x = -3 atau x = 3 atau x = 2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-3, 2, 3}

Contoh 4 :
Himpunan penyelesaian dari x³ - 2x² - 3x + 6 = 0 adalah
Jawab :
x³ - 2x² - 3x + 6 = 0
x²(x - 2) - 3(x - 2) = 0
(x² - 3)(x - 2) = 0

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

Contoh 5 :
Himpunan penyelesaian dari 2x³ - x² + 4x - 2 = 0 adalah ...
Jawab :
2x³ - x² + 4x - 2 = 0
x²(2x - 1) + 2(2x - 1) = 0
(x² +2)(2x - 1) = 0
x² = -2 atau x = 1/2
x² = -2 tidak mungkin terjadi, jadi x yang memenuhi hanya 1/2, dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {1/2}

Penyelesaian gabungan antara pemfaktoran dan rumus ABC

Contoh 6
Himpunan penyelesaian dari persamaan x³ - 2x² - x = 0 adalah

Jawab :
x³ - 2x² - x = 0
x(x² - 2x - 1) = 0
x = 0 atau x² - 2x - 1 = 0

Untuk bentuk x² - 2x - 1 = 0 bisa kita selesaiakan dengan rumus ABC

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

Untuk bentuk bentuk yang sulit difaktorkan, tetapi akar-akarnya masih rasional maka kita bisa menggunakan metoda horner, sedangkan jika akar-akarnya irasional maka kita gunakan metoda penyelesaian umum yang mengubah persamaan kubik menjadi persamaan kuadrat. Fungsi Kubik

Mencari :

Titik Ekstrims
Titik Belok

Y = f (X)

 Titik Ekstrims pada saat Y^’ = 0

 Titk Maksimum : Y^’’ < 0, pada Y^’ =0

 Titk Minimum : Y^’’> 0, pada Y^’ = 0

 Titik belok : Y^’’= 0 , kemudian substitusikan ke fungsi asal, yi Y = f(X)

Contoh Soal:

C =1/3Q³ -3Q² +8Q +5
C = Y dan Q = X (analogi rumus)

Penyelesaian :

C^’ = 0 , maka 0 = Q² -6Q +8

0 = (Q – 4) (Q – 2)

Q₁ = 4 dan Q₂ = 2

C^’’ = 0 , maka 0 = 2Q – 6

Q₁ = 4, maka 0 = 2 (4) – 6 = 2 ;(2>0)

Pada Q₁ = 4 merupakan titik minimum

Q₁= 4 ;C=1/3(4)³ – 3(4)² +8(4) +5 =10,33

Jadi pada Q₁ =4,merupakan titik minimum pada (4 ; 10,33)

Q₂ = 2 , pada C^’’ = 2(2)-6 = -2 ;(-2<0)

Sehingga pada Q₂ = 2 merupakan titik maksimum .

Q₂ = 2, maka C = 1/3(2)³ – 3(2)² +B(2)+5 = 11,67

Titik maksimum pada (2 ; 11,67)

Mencari titik belok

Titik belok pada saat C^’’ = 0

C^’’ = 2Q -6 ; 2Q -6 = 0, maka Q =3

Q = 3 , maka C =1/3(3)³ – 3(3)² =*(3) +5 = 11

Titik belok pada (3 ; 11)

2.4 PENERAPAN DALAM EKONOMI

2.4.1 Definisi Fungsi Permintaan, Penawaran, Dan Keseimbangan Pasar

· Fungsi Permintaan ( D )

Fungsi Permintaan adalah persamaan yang menunjukkan hubungan antara jumlah suatu barang yang diminta dengan faktor-faktor yang mempengaruhinya. fungsi permintaan adalah suatu kajian matematis yang digunakan untuk menganalisa perilaku konsumen dan harga. fungsi permintaan mengikuti hukum permintaan yaitu apabila harga suatu barang naik maka permintaan akan barang tersebut juga menurun dan sebaliknya apabila harga barang turun maka permintaan akan barang tersebut meningkat. jadi hubungan antara harga dan jumlah barang yang diminta memiliki hubungan yang terbalik, sehingga gradien dari fungsi permintaan (b) akan selalu negatif.

Bentuk umum fungsi permintaan dengan dua variabel adalah sebagai beriut :

Qd = a - bPd atau Pd = -1/b ( -a + Qd)

dimana :

a dan b = adalah konstanta, dimana b harus bernilai negative

b = ∆Qd / ∆Pd

Pd = adalah harga barang per unit yang diminta

Qd = adalah banyaknya unit barang yang diminta

Syarat, P ≥ 0, Q ≥ 0, serta dPd / dQ < 0

Contoh soal:

Pada saat harga Jeruk Rp. 5.000 perKg permintaan akan jeruk tersebut sebanyak 1000Kg, tetapi pada saat harga jeruk meningkat menjadi Rp. 7.000 Per Kg permintaan akan jeruk menurun menjadi 600Kg, buatlah fungsi permntaannya ?

Pembahasan :
Dari soal diatas diperoleh data :
P1 = Rp. 5.000      Q1 = 1000 Kg
P2 = Rp. 7.000      Q2 = 600 Kg
untuk menentukan fungsi permintaannya maka digunakan rumus persamaan garis melalui dua titik, yakni :
y - y1            x - x1
------   = --------
y2 - y1        x2 - x1

dengan mengganti x = Q dan y = P maka didapat,
P - P1           Q - Q1
-------    = --------
P2 - P1         Q2 - Q1

mari kita masukan data diatas kedalam rumus :
P    -     5.000                     Q - 1000
----------------------- = ----------------
   7.000 - 5.000                   600 - 1000

           P - 5.000                 Q - 1000
----------------------- = ----------------
             2.000                        -400

P - 5.000 (-400)    =  2.000 (Q - 1000)
-400P + 2.000.000 = 2000Q - 2.000.000
2000Q = 2000.000 + 2.000.000 - 400P
Q = 1/2000 (4.000.000 - 400P)
Q = 2000 - 0,2P
============
Jadi Dari kasus diatas diperoleh fungsi permintan Qd = 2000 - 0,2P

· Fungsi Penawaran ( S )

Fungsi penawaran adalah persamaan yang menunjukkan hubungan harga barang di pasar dengan jumlah barang yang ditawarkan oleh produsen. Fungsi penawaran digunakan oleh produsen untuk menganalisa kemungkinan2 banyak barang yang akan diproduksi. Menurut hukum penawaran bila harga barang naik, dengan asumsi cateris paribus (faktor-faktor lain dianggap tetap), maka jumlah barang yang ditawarkan akan naik, dan sebaliknya apabila harga barang menurun jumlah barang yang ditawarkan juga menurun. jadi dalam fungsi penawaran antara harga barang dan jumlah barang yang ditawarkan memiliki hubungan posifit, karenanya gradien (b) dari fungsi penawaran selalu positif.

Bentuk umum dari fungsi penawaran linear adalah sebagai berikut:

Qs = a + bPs

dimana :

a dan b = adalah konstanta, dimana b harus bernilai positif

b = ∆Qs/ ∆Ps

Ps= adalah harga barang per unit yang ditawarkan

Qs= adalah banyaknya unit barang yang ditawarkan

Ps≥ 0, Qs≥ 0, serta dPs/ dQs > 0

Contoh Soal:

Pada saat harga durian Rp. 3.000 perbuah toko A hanya mampu menjual Durian sebanyak 100 buah, dan pada saat harga durian Rp. 4.000 perbuah toko A mampu menjual Durian lebih banyak menjadi 200 buah. dari kasus tersebut buatlah fungsi penawarannya ?

Jawab :

dari soal diatas diperoleh data sebagai berikut :

P1 = 3.000 Q1 = 100 buah

P2 = 4.000 Q2 = 200 buah

Langkah selanjutnya, kita memasukan data-data diatas kedalam rumus persamaan linear a:

P - P1 Q - Q1

-------- = ---------

P2 - P1 Q2 - Q1

    P - 3.000         Q - 100
-------------- = -------------
4.000 - 3.000      200 - 100

     P - 3.000           Q - 100

-------------- = -------------

1.000 100

(P - 3.000)(100) = (Q - 100) (1.000)
100P - 300.000 = 1.000Q - 100.000
1.000Q = -300.000 + 100.000 + 100P
1.000Q = -200.000 + 100P
Q = 1/1000 (-200.000 + 100P )
Q = -200 + 0.1P
============
Jadi dari kasus diatas diperoleh Fungsi penawaran : Qs = -200 + 0,1Pd

· Keseimbangan Pasar ( E )

1. Keseimbangan pasar satu macam produk

Syarat untuk mencapai ini adalah jumlah produk yang diminta oleh konsumen harus sama dengan jumlah prosuk yang ditawarkan oleh produsen ( Qd = Qs ) atau harga produk yang diminta sama dengan produk yang ditawarkan ( Pd = Ps )

Contoh soal :

Fungsi permintaan ditunjukan oleh persamaan Qd = 10 – 5p dan fungsi penawarannya adalah Qs = 7 – 2p

a. Berapakah harga dan jumlah keseimbangan pasar ?

b. Tunjukkan secara geometri !

Jawab :

a.) Qd = Qs b.) Gambar keseimbangan pasar

10 – 5 p = 7 – 2p

Q	0	10
P	2	0

3p = 3 Q = 10 – 5p

P = 1

Q = 10 – 5p

Q = 5 Q = 7 – 2p

Q	0	10
P	2	0

Harga danjumlah keseimbangan

pasar adalah E ( 5,1 )

2. Keseimbangan pasar dua macam produk

Fungsi permintaan dan penawaran dapat perluas menjadi fungsi yang memiliki dua variable bebas yaitu harga produk itu sendiri dan harga produk lain yang saling behubungan. Misalnya ada dua produk x dan y yang saling behubungan dimana;

Qdx = Jumlah yang diminta untuk produk x

Qdy = Jumlah yang diminta untuk produk y

Px = Harga barang x

Py = Harga barang y

Contoh soal :

Diketahui fungsi permintaan dan penawaran dua macam produk yang memiliki hubungan subsitusi :

Qdx = 4 – 2Px + Py

Qdy = -4 + Px + 5Py

Qsx = -8 + 3Px – 5Py

Qsy = 5 – Px – Py

Carilah keseimbangan pasarnya

Jawab :

Qdx = Qsx

4 – 2Px + Py = -8 + 3Px – 5Py

12 = 5Px – 6Py ( 1 )

Qdy = Qsy

-4 + Px + Py = 5 – Px – Py

9 = 2Px + 6Py ( 2 )

12 = 5Px – 6Py

9 = 2Px + 6Py +

21 = 7Px

Px = 3

9 = 2Px + 6Py

9 = 2 (3) + 6 Py

9 = 6 + 6 Py

6Py = 3

Py = ½

Qdy = -4 + Px + 5Py

= 4 – 6 + ½

= -1 ½

· Pengaruh Pajak ( t ) Pada Keseimbangan Pasar

Jika sesuatu produk dikenakan pajak oleh pemerintah, maka akan terjadi perubahan keseimbangan atas produk tersebut. Pada produk tertentu akan menyebabkan harga produk tersebut naik karena produsen membebankan sebagian pajak pada konsumen, sehingga jumlah produk yang diminta pun berkurang. Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah kena pajak dapat digambarkan sebagai berikut.

TG = Pajak total oleh pemerintah = d, b, Et, Pt

TK = Pajak yang ditanggung oleh konsumen = Pt, Po, C, Et

TP = Pajak yang ditanggung oleh produsen = Po, C, B, d

Maka : TK = ( Pt – Po ) Qt

TG = t.Qt

TP = TG – TK

Qt = Jumlah kseimbangan setelah kena pajak.

Contoh soal :

Diketahui suatu produk ditunjukan fungsi permintaan P = 8 + Q dan fungsi penawaran P = 16 – 2Q. Produk tersebut dikenakan pajak sebesar Rp. 3,-/unit

a. berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak ?

b. berapa besar penerimaan pajak oleh pemerintah ?

c. Berapa besar pajak yang ditanggung kosumen dan produsen ?

Jawab ;

a. Pd = Ps

7 + Q = 16 – 2Q P = 7 + Q

3Q = 9 P = 7 + 3

Q = 3 P = 10

Jadi keseimbangan pasar sebelum pajak E ( 3,10 )

Pt = 16 – 2Q + t

= 16 – 2Q + 3

= 19 – 2Q Pt = Pd

19 – 2Q = 7 + Q

3Q = 12

Q = 4

Pt = 19 – 2Q

= 19 – 8

= 11

Jadi keseimbangan pasar setelah pajak E ( 4,11 )

b. TG = t.Qt

= 3 . 4

= 12 ( Besarnya penerimaan pajak oleh pemerintah Rp. 12,- )

c. TK = ( Pt – Po ) Qt

= ( 11 – 10 ) 4

= 4 ( Besar pajak yang ditanggung konsumen Rp. 4,- )

Tp = TG – TK

= 12 – 4

= 8 ( Besar pajak yang ditanggung produsen Rp. 8,- )

· PENGARUH SUBSIDI PADA KESEIMBANGAN PASAR

Subsidi ( s ) adalah bantuan yang diberikan pemerintah kepada produsen terhadap produk yang dihasilkan atau dipasarkan, sehingga harga yang berlaku dipasar lebih rendah sesuai dengan keinginan pemerintah dan daya beli masyarakat meningkat. Fungsi penawaran setelah subsidi adalah F ( Q ) = P + S atau P = F ( Q ) – S

Contoh Soal ;

Permintaan akan suatu komoditas dicerminkan oleh Q = 12 – 2P sedangkan penawarannya Q = -4 + 2P pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp. 2,- setiap unit barang.

a. berapakah jumlah dan harga keseimbangan sebelum subsidi ?

b. berapakah jumlah dan harga keseimbangan sesudah subsidi ?

c. berapa bagian dari subsidi untuk konsumen dan produsen ?

d. berapa subsidi yang diberikan pemerintah ?

Jawab ;

a.) Qd = Qs Q = 12 – 2P

12 – 2P = -4 + 2P = 12 – 8

4P = 16 = 4

P = 4 ( Keseimbangan pasar sebelum subsidi So ( 4, 4 )

b.) Qd = 12 – 2P => P = ½ Qd + 6 Pd = Pss

Qs = -4 + 2P => P = ½ Qs + 2 - ½ Q + 6 = ½ Q

Pss = ½ Q + 2 – 2 Q = 6

Pss = ½ Q P = ½ Q

P = 3

( Keseimbangan pasar setelah subsidi Ss ( 6, 3 )

c.) SK = ( Po – Ps ) Qs SP = S – (( Po – Ps ) Qs)

= ( 4 – 3 ) 6 = 12 – (( 4 – 3 ) 6 )

SK = 6 = 12 - 6

SG = Qs . s = 6

= 6 . 2 = 12 ( Besar subsidi untuk produsen Rp. 6,- )

( Besar subsidi untuk konsumen = Rp. 12,- )

d.) Subsidi yang diberikan pemerintah

SG = s . Qs

= 2 . 6

= 12

2.4.2 Definisi Fungsi Biaya

Biaya atau ongkos pengertian secara ekonomis merupakan beban yang harus dibayar produsen untuk menghasilkan barang dan jasa sampai barang tersebut siap untuk dikonsumsi . Biaya merupakan fungsi dari jumlah produksi, dengan notasi C = f(Q).
C = biaya total
Q = jumlah produksi.
      Fungsi biaya merupakan hubungan antara biaya dengan jumlah produksi yang dihasilkan, fungsi biaya dapat digambarkan ke dalam kurva dan kurva biaya menggambarkan titik-titik kemungkinan bsarnya biaya di berbagai tingkat produksi. Dalam membicarakan biaya ada beberapa macam biaya, yaitu:
a. Biaya Total ( Total Cost = TC = C)
b. Biaya Variabel (Variable Cost = VC)
c. Biaya Tetap (Fixed Cost = FC)
d. Biaya Total Rata-Rata (Average Total Cost = AC)
e. Biaya Variabel Rata Rata ( Average Variable Cost = AVC)
f. Biaya Tetap Rata-Rata (Average Fixed Cost = AFC)
g. Biaya Marginal

Rumus :
1. C = AC x Q atau C = FC + VC
2. FC = AFC X Q
3. VC = AVC X Q

      Dalam menganalisa biaya umumnya tidak terlepas dari analisa penerimaan atau revenue atau total revenue. Pengertian revenue atau penerimaan adalah seluruh pendapatan yang diterima dari hasil penjualan barang pada tingkat harga tertentu. Secara matematik total revenue dirumuskan sebagai berikut:

* TR = PQ.       TR = Penerimaan Total, P = Harga Barang dan Q = Jumlah barang yang dijual.
* Penerimaan Rata-rata (AR) adalah penerimaan rata-rata tiap unit produksi, dapat dirumuskan :
   AR = TR/Q
* Penerimaan Marginal atau Marginal Revenue adalah tambahan penerimaan sebagai akibat dari tambahan
   produksi, dirumuskan"
   MR = ∆TR/∆Q atau turunan dari TR
   MR = Marginal Revenue, ∆TR = Tambahan penerimaan, ∆Q = Tambahan Produksi. Berdasarkan konsep penerimaan dan biaya (TR dan TC) dapat diketahui beberapa kemungkinan diantaranya :

TR < TC = keadaan untung / laba
TR= TC   = keadaan Break Even Point
TR > TC = Keadaan rugi.

• Dilambangkan dengan C (Cost) atau TC (Total Cost)

• Terdiri atas dua jenis fungsi biaya, yaitu :

Fixed Cost

• Fixed cost atau fungsi biaya tetap (FC) merupakan fungsi yang tidak bergantung pada jumlah produk yang diproduksi.

• Jadi fungsi biaya tetap adalah fungsi konstanta.

FC = k

dengan k : konstanta positif

Contoh Soal:

Suatu perusahaan mengeluarkan biaya tetap sebesar Rp. 100.000.000 Bagaimanakah fungsi biaya tetapnya dan gambarkan fungsi tersebut pada grafik kartesius.

Jawab : FC = 100.000.000

Gambar Grafik:

Variabel Cost

• Variabel cost atau fungsi biaya yang berubah-ubah atau biaya variabel (VC) merupakan fungsi biaya yang besarnya bergantung dari jumlah produk yang diproduksi.

• Jadi : VC = f(Q) merupakan hasil kali antara biaya produksi per unit dengan jumlah barang yang diproduksi.

• Jika P adalah biaya produksi per unit, dimana biaya produksi per unit senantiasa lebih kecil dibandingkan harga jual perunit barang, maka :

VC = P x Q

dengan : P = biaya produksi per unit

Q = jumlah produk yang diproduksi

Contoh Soal:

Suatu produk diproduksikan dengan biaya produksi Rp. 3.000 per unit. Bagaimana fungsi biaya variabelnya dan gambarkan fungsi tersebut pada grafik.

Jawab : VC = P x Q → VC = 3.000 Q

Gambar Grafik:

Karena intersepnya tidak ada (nol) maka fungsi biaya variabel digambarkan melalui titik (0,0) dengan gradien positif

Total Cost

• Fungsi Total Cost (TC) merupakan penjumlahan antara biaya tetap dengan biaya variabel.

• TC = FC + VC

Contoh :

Dari contoh 2 dan contoh 3 diatas, dimana biaya tetap yang dikeluarkan sebuah perusahaan sebesar Rp. 100.000.000,- dan biaya variabelnya : 3.000 Q, maka TC = 100.000.000 + 3.000 Q.

Ternyata intersep dari fungsi total biaya adalah sama dengan biaya tetapnya dan gradiennya sama dengan gradien fungsi biaya tetap. Hal ini mencerminkan bahwa penggambaran fungsi total biaya haruslah melalui titik (0,FC) dan sejajar dengan grafik VC.

2.4.3 Definisi Fungsi Penerimaan

• Fungsi penerimaan disebut juga fungsi pendapatan atau fungsi hasil penjualan, dilambangkan dengan R (Revenue) atau TR (Total Revenue)

• Fungsi Penerimaan merupakan fungsi dari output :

R = f(Q) dengan Q = jumlah produk yang laku terjual.

• Fungsi penerimaan merupakan hasil kali antara harga jual per unit dengan jumlah barang yang diproduksi dan laku dijual.

• Jika P adalah harga jual per unit, maka :

R = P x Q

dengan : P = harga jual per unit

` Q = jumlah produk yang dijual

R = total penerimaan

Contoh 1

Misalkan suatu produk dengan harga Rp. 5.000 per unit barang, bagaimanakah fungsi penerimaannya ? Gambarkan fungsi penerimaan tersebut pada grafik. Jawab : Fungsi Penerimaan :

R = P x Q → R = 5.000Q

Gambar Grafik:

Karena intersepnya tidak ada (nol) maka fungsi penerimaan digambarkan melalui titik (0,0) dengan gradien positif

2.4.4 Definisi Keuntungan, Kerugian dan Pulang Pokok

Keuntungan (profit positif, π > 0) akan didapat apabila R > C .
Kerugian (profit negatif, π < 0) akan dialami apabila R < C .
Konsep berkenaan dengan R dan C adalah konsep break-even, yaitu konsep untuk menentukan jumlah minimum produk yang harus dihasilkan atau terjual agar perusahaan tidak mengalami kerugian.
Keadaan break-even (profit nol, π = 0) terjadi apabila R = 0; perusahaan tidak memperoleh keuntungan tetapi tidak pula mengalami kerugian. Secara grafik, hal ini ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva R dan kurva C.

Analisis Pulang Pokok (break-even) yaitu suatu konsep yang digunakan untuk menganalisis jumlah minimum produk yang harus dihasilkan atau terjual agar perusahaan tidak mengalami kerugian. Keadaan pulang pokok (profit nol, π = 0 ) terjadi apabila R = C ; perusahaan tidak memperoleh keuntungan tetapi tidak pula menderita kerugian. Secara grafik hal ini ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva R dan kurva C.

Tingkat produksi Q₁ dan Q₄ mencerminkan keadaan pulang pokok, sebab penerimaan total sama dengan pengeluaran (biaya) total, R = C. Area disebelah kiri Q₁ dan sebelah kanan Q₄ mencerminkan keadaan rugi, sebab penerimaan total lebih kecil dari pengeluaran total, R < C. Sedangkan area diantara Q₁ dan Q₄ mencerminkan keadaan untung, sebab penerimaan total lebih besar dari pengeluaran total, R > C. Tingkat produksi Q₃ mencerminkan tingkat produksi yang memberikan penerimaan total maksimum. Besar kecilnya keuntungan dicerminkan oleh besar kecilnya selisih positif antara R dan C. Keuntungan maksimum tidak selalu terjadi saat R maksimum atau C minimum.

Contoh soal :

Penerimaan total yang diperoleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh persamaan R = -0,1Q² + 20Q, sedangkan biaya total yang dikeluarkan C = 0,25Q³ – 3Q² + 7Q + 20. Hitunglah profit perusahaan ini jika dihasilkan dan terjual barang sebanyak 10 dan 20 unit ?

Jawab ;

π = R – C = -0,1Q² + 20Q – 0,25Q³ + 3Q² – 7Q – 20

π = – 0,25Q³ + 2,9Q² + 13Q – 20

Q = 10 π = – 0,25(1000) + 2,9(100) + 13(10) – 20

= –250 + 290 +130 – 20 = 150 (keuntungan )

Q = 20 π = – 0,25(8000) + 2,9(400) + 13(20) – 20

= –2000 + 1160 +260 – 20 = – 600 (kerugian )

Contoh Soal :

Penerimaan total yang diperoleh suatu perusahaan ditunjukkan oleh fungsi R = – 0,1Q² + 300Q, sedangkan biaya total yang dikeluarkannya C = 0,3Q² – 720Q + 600.000. Hitunglah :

1. Tingkat produksi yang menghasilkan penerimaan total maksimum ?

2. Tingkat produksi yang menunjukkan biaya total minimum ?

3. Manakah yang lebih baik bagi perusahaan, berproduksi menguntungkan berproduksi pada tingkat produksi yang menghasilkan penerimaan total maksimum atau biaya total minimum ?

Jawab :

R = – 0,1Q² + 300Q

C = 0,3Q² – 720Q + 600.000

R maksimum terjadi pada

C minimum terjadi pada

π pada R maksimum

Q = 1500 π = – 0,4Q² + 1020Q – 600.000

= – 0,4(1500)² + 1020(1500) – 600.000

= 30.000

1. π pada C minimum

2. Q = 1200 π = – 0,4Q² + 1020Q – 600.000

= – 0,4(1200)² + 1020(1200) – 600.000

= 30.000

2.4.5 Definisi Fungsi Utilitas

Fungsi utilitas ialah fungsi yang menjelaskan besarnya utilitas yang berupa kepuasan, dan kegunaan yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang atau jasa. Pada umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dikonsumsi, maka akan semakin besar utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai titik puncaknya (titik jenuh) pada jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu justru menjadi berkurang atau bahkan negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus menerus ditambah. Fungsi utilitas bersifat relative, dimana barang atau jasa yang memiliki utility bagi orang tertentu belum tentu bagi orang lain. Penerapan fungsi dalam ekonomi dan bisnis merupakan salah satu bagian yang sangat penting untuk dipelajari, karena model-model ekonomi yang berbentuk matematika biasanya dinyatakan dengan fungsi.

· Konsep Utilitas

Pada umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dikonsumsi semakin besar utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai titik puncaknya (titik jenuh) pada jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu justru menjadi berkurang atau bahkan negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus-menerus ditambah. Utilitas total merupakan fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi. Persamaan utilitas total (total utility, U) dari mengkonsumsi suatu jenis barang berupa fungsi kuadrat parabolik, dengan kurva berbentuk parabola terbuka ke bawah.

Utilitas marginal (marginal utility, MU) ialah utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap satu unit barang yang dikonsumsi. Secara matematik, fungsi utilitas marginal merupakan derivatif pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan U = f (Q) dimana U melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang yang dikonsumsi atau tingkat kepuasannya tetapi terikat pada fungsi pendapatan, atau sebuah perusahaan yang ingin memaksimumkan labanya namun terikat pada fungsi produksi. Maka suatu cara yang dapat digunakan untuk menentukan titik ekstrim dari suatu fungsi yang bersyarat adalah dengan menggunakan Pengali Lagrange, yakni dengan cara membentuk sebuah fungsi baru yang merupakan penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan di tambah hasil kali pengali Lagrange λ dengan fungsi kendalanya.

Total Utility atau kepuasan total adalah seluruh kepuasan yang diperoleh konsumen / seseorang dari mengkonsumsi sejumlah barang tertentu. Sedangkan marginal Utility atau kepuasan tambahan adalah tambahan kepuasan yang diperoleh seseorang akibat adanya tambahan mengkonsumsi satu unit barang tertentu. Berikut adalah suatu contoh total utility dengan marginal utility dalam angka:

Tabel 1.

Total Utility dan Marginal Utility Dalam Angka

Jumlah barang “x” yang dikonsumsi (Q_x)	Total Utility (TU_X)	Marginal Utility (MU_X)
0	0	-
1	10	10
2	18	8
3	24	6
4	28	4
5	30	2
6	30	0
7	28	-2

· Aplikasi Fungsi Utilitas

Dalam analisis ekonomi, utilitas sering digunakan untuk menggambarkan urutan preferensi sekelompok barang, contohnya seorang konsumen bernama Anton merasa lebih puas membeli 3 buah buku fiksi ilmiah jika dibandingkan dengan membeli sehelai kemeja, hal ini berarti buku-buku tersebut memberikan utilitas yang lebih besar dibandingkan dengan kemeja tadi.

Fungsi utilitas dapat ditunjukkan dengan sekumpulan kurva indiferensi, yang masing-masing mempunyai indikator numerik. Pada Gambar 1. berikut ini menunjukkan 3 kurva indiferensi dengan tingkat utilitas sebesar 25, 50 dan 100.

Perlu diingat bahwa ketika kita menggunakan fungsi utilitas, yang kita tekankan adalah konsep ordinal bukan kardinal. Dengan demikian yang perlu kita perhatikan dari gambar di atas, bukan angka numerik seperti 25, 50 dan 100 tetapi bahwa kurva indiferensi dengan utilitas (U) = 100 memberikan kepuasan yang lebih besar dibandingkan dengan utilitas sebesar 50, demikian juga kurva indiferensi dengan utilitas sebesar 50 memberikan kepuasan yang lebih besar dari utilitas sebesar 25.

Syarat utama dalam menetapkan suatu fungsi utilitas adalah bahwa persoalan nilai maksimum dan minimum dari persoalan yang dihadapi harus mencakup persoalan tersebut. Karena itu harus dapat ditentukan terlebih dahulu batasan nilai maksimum dan minimum dari besaran yang akan ditetapkan fungsinya. Untuk menjaga konsistensi, maka batasan nilai jangan terlampau jauh dari batasan nilai yang ada dalam persoalan yang dibahas, sehingga pengambil keputusan benar-benar menghayati nilai tersebut.

2.4.6 Definisi Fungsi Produksi / Persamaan Produksi

Kegiatan produksi menyangkut dua persoalan yang mempunyai hubungan fungsional atau saling memengaruhi, yaitu:

1. Berapa output yang harus diproduksikan, dan

2. Berapa factor-faktor produksi (input) yang akan dipergunakan.

Dengan demikian, yang disebut fungsi produksia adalah hubungan fungsional (sebab akibat) antara input dan output.

Dalam hal ini input sebagai sebab, dan output sebagai akibat. Jadi, fungsi produksi adalah suatu fungsi atau persamaan yang menunjukkan hubungan antara tingkat output dengan tingkat (kombinasi) penggunaan input-input. Secara matematis fungsi produksi dapat meumuskan sebagai beikut.

Q : Quantity (jumlah barang yang dihasilkan)

F : Fungsi (symbol persamaan fungsional)

C : Capital (modal atau sarana yang digunakan)

L : Labour (tenaga kerja)

R : Resources (sumber daya alam)

T : Technology (teknologi dan kewiraushaan)

dari persamaan tersebut dapat dikatakan bahwa output merupakan fungsi dari input, artinya setiap barang yang dihasilkan merupakan akibat dari input yang dimasukkan.

Keterangan:

Grafik yang menunjukkan total product (TP)

Grafik AP dan MP pada berbagai tingkat input

Tampak bahwa penggunaan input X menunjukkan produksi total selalu memgalami peningkatan. Adanya penambahan input, mula-mula meningkatkan marginal product dan average product akan tetapi pada titik tertentu akan semakin menurun.

Perilaku sorang produsen atau pengusaha dituangkan dalam mengambil keputusan tentang beberapa input yang akan dipergunakan dan berapa output yang akan dihasilkan, untuk mencapai keuntungan yang maksimum. Proses produksi dapat diartikan sebagai proses urutan kegiatan yang harus dilaksanaan dalam usaha untuk menghasilkan barang maupun jasa. Agar proses produksi mencapai titik optimum, maka diperlukanadanya peningkatan produktivitas dengan jalan menambah factor-faktor produksi.

Akan tetapi menurut david Ricardo penambahan factor produksi tidak selalu dapat memberikan hasil yang sebanding seperto yang digambarkan dalam hokum hasil lebih yang semakin berkurang atau The law of dimishing returns yang berbunnyi “Dengan suatu teknik tertentu, maka mulai titik tertentu penambahan factor produksi tidak lagi memberikan penambahan hasil produksi yang sebanding”. Atau dengan kata lain tambahan hasil lama kelamaan akan menurun, meskipun factor produksi terus bertambah.

Contoh:

Tanah : 1 Ha, modal Rp 5.000.000,00

Pekerja	Hasil Total (Total Product)	Tambahan Hasil (Marginal Product)
1	10	10
2	21	11
3	34	13
4	42	8
5	46	4
6	48	2

Law of dimishing returns terjadi pada pekerja yang ke-4 dan setersnya, yaitu setelah tercapai marginal product maksimum sebesar 13.

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Penerapan fungsi dalam ekonomi dan bisnis merupakan salah satu bagian yang sangat penting untuk dipelajari, karena model-model ekonomi yang berbentuk matematika biasanya dinyatakan dengan fungsi. Pada umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dikonsumsi, maka semakin besar utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai titik puncaknya (titik jenuh) pada jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu justru menjadi berkurang atau bahkan negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus-menerus ditambah.

3.2 Saran

Demikian yang dapat saya paparkan mengenai materi yang menjadi pokok bahasan dalam masalah ini. Tentunya masih banyak kekurangan dan kelemahannya, karna terbatasnya pengetahuan dan kurangnya rujukan atau refrensi yang ada hubungannya dengan judul makalah ini. Penyusun banyak berharap pada pembaca dapat memberikan kritik dan saran yang membangun pada penyusun. Demi sempurnanya penyusunan makalah ini, kami berharap kritik dan saran oleh para pembaca.

DAFTAR PUSTAKA

http://web-matemtika.blogspot.com/2011/02.penyelesaian-umum-persamaan-kubik.html

http://www.ilmumtk.com/rosihan.lecture.ub.ac.id/lecture/matematika-ekonomi/persamaan.html

rosihan.web.id/wp-content/uploads/2010/…/math13.-INTEGRAL.ppt/matematika.html

http://www.codecogs.com/eqedit.php

http://web-matematika.blogspot.com/2011/03/metode-korner.thml

http://setyonugroho09.files.wordpress.com/2010/03